牛顿力学

26 年 3 月 2 日 星期一 (已编辑)
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物理 理论力学 牛顿力学 质点力学 守恒定律

牛顿力学体系

牛顿三定律

第一定律（惯性定律）：任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到其他物体的作用力迫使它改变这种状态为止。这一定律定义了惯性参考系。

第二定律：物体动量的变化率等于作用于物体的合外力，即

F=dpdt=d(mv)dt\begin{align} \boldsymbol{F} = \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}(m\boldsymbol{v})}{\mathrm{d}t} \end{align}

当质量 mm 为常数时，可写为 F=ma\boldsymbol{F} = m\boldsymbol{a}。这是质点动力学的核心方程。

第三定律：作用力与反作用力大小相等、方向相反、作用在同一直线上，即

F12=−F21\begin{align} \boldsymbol{F}_{12} = -\boldsymbol{F}_{21} \end{align}

力的独立作用原理

若干个力同时作用于一个质点时，每个力各自独立地使质点获得加速度，质点的总加速度等于各力单独作用时所获加速度的矢量和。这一原理是矢量叠加的基础。

牛顿绝对时空观

  • 空间的绝对性：空间与任何外界事物无关，永远是相同和不动的。
  • 时间的绝对性：时间均匀流逝，与任何外界事物无关。
  • 伽利略相对性原理：力学定律在所有惯性参考系中形式相同，惯性系之间通过伽利略变换相联系。

常见坐标系下的牛顿第二定律

选择合适的坐标系是求解力学问题的关键步骤。

直角坐标系

直角坐标系 (x,y,z)(x,y,z) 下，牛顿第二定律的分量形式为

Fx=mx¨,Fy=my¨,Fz=mz¨\begin{align} F_x = m\ddot{x}, \quad F_y = m\ddot{y}, \quad F_z = m\ddot{z} \end{align}

这是最直接的坐标表示，适用于力易于分解的情形。

平面极坐标系

平面极坐标 (r,θ)(r,\theta) 与直角坐标的关系为 x=rcos⁡θx = r\cos\theta，y=rsin⁡θy = r\sin\theta。位置矢量为 r=rr^\boldsymbol{r} = r \hat{\boldsymbol{r}}。速度和加速度分别为

v=r˙r^+rθ˙θ^a=(r¨−rθ˙2)r^+(rθ¨+2r˙θ˙)θ^\begin{align} \boldsymbol{v} &= \dot{r} \hat{\boldsymbol{r}} + r\dot{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}} \\ \boldsymbol{a} &= (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2) \hat{\boldsymbol{r}} + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}) \hat{\boldsymbol{\theta}} \end{align}

径向与横向的加速度分量：

  • 径向加速度：ar=r¨−rθ˙2a_r = \ddot{r} - r\dot{\theta}^2（径向项 + 向心项）
  • 横向加速度：aθ=rθ¨+2r˙θ˙a_\theta = r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}（角加速度项 + 科里奥利项）

对应的牛顿第二定律为

Fr=m(r¨−rθ˙2)Fθ=m(rθ¨+2r˙θ˙)\begin{align} F_r &= m(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2) \\ F_\theta &= m(r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}) \end{align}

柱坐标系

柱坐标 (r,θ,z)(r,\theta,z) 下，加速度分量为

ar=r¨−rθ˙2aθ=rθ¨+2r˙θ˙az=z¨\begin{align} a_r &= \ddot{r} - r\dot{\theta}^2 \\ a_\theta &= r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} \\ a_z &= \ddot{z} \end{align}

相应的动力学方程为

Fr=m(r¨−rθ˙2)Fθ=m(rθ¨+2r˙θ˙)Fz=mz¨\begin{align} F_r &= m(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2) \\ F_\theta &= m(r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}) \\ F_z &= m\ddot{z} \end{align}

球坐标系

球坐标 (r,θ,ϕ)(r,\theta,\phi) 下，加速度分量较为复杂：

ar=r¨−rθ˙2−rsin⁡2θ ϕ˙2aθ=rθ¨+2r˙θ˙−rsin⁡θcos⁡θ ϕ˙2aϕ=rsin⁡θ ϕ¨+2r˙sin⁡θ ϕ˙+2rcos⁡θ θ˙ϕ˙\begin{align} a_r &= \ddot{r} - r\dot{\theta}^2 - r\sin^2\theta\,\dot{\phi}^2 \\ a_\theta &= r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} - r\sin\theta\cos\theta\,\dot{\phi}^2 \\ a_\phi &= r\sin\theta\,\ddot{\phi} + 2\dot{r}\sin\theta\,\dot{\phi} + 2r\cos\theta\,\dot{\theta}\dot{\phi} \end{align}

自然坐标系（内禀坐标）

对于已知轨迹的曲线运动，采用自然坐标 (s)(s)，其中切向和法向加速度为

  • 切向加速度：at=v˙=s¨a_t = \dot{v} = \ddot{s}
  • 法向加速度：an=v2ρa_n = \dfrac{v^2}{\rho}（ρ\rho 为曲率半径）

牛顿第二定律在自然坐标下的形式为

Ft=ms¨Fn=mv2ρ\begin{align} F_t &= m\ddot{s} \\ F_n &= m\frac{v^2}{\rho} \end{align}

质点系动力学

质点系的基本概念

质点系是由多个质点组成的系统，各质点的运动通过相互作用相互联系。处理质点系问题的关键在于区分内力和外力。

动量定理与质心运动定理

质点系的动量定义为各质点动量的矢量和：

P=∑imivi\begin{align} \boldsymbol{P} = \sum_i m_i \boldsymbol{v}_i \end{align}

动量定理：质点系动量的变化率等于质点系所受外力的矢量和（内力不影响总动量）：

dPdt=∑iFi(ext)=F(ext)\begin{align} \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{P}}{\mathrm{d}t} = \sum_i \boldsymbol{F}_i^{\text{(ext)}} = \boldsymbol{F}^{\text{(ext)}} \end{align}

质心定义为质点系的质量中心：

rc=∑imiri∑imi=∑imiriM\begin{align} \boldsymbol{r}_c = \frac{\sum_i m_i \boldsymbol{r}_i}{\sum_i m_i} = \frac{\sum_i m_i \boldsymbol{r}_i}{M} \end{align}

质心运动定理：质心的运动等同于一个质量为总质量 MM 的质点，在合外力 F(ext)\boldsymbol{F}^{\text{(ext)}} 作用下的运动：

Mr¨c=F(ext)\begin{align} M\ddot{\boldsymbol{r}}_c = \boldsymbol{F}^{\text{(ext)}} \end{align}

质心系是固结在质心上的参考系，在该系中总动量为零，因此也称为零动量系。

角动量定理

质点对固定点 OO 的角动量定义为

L=r×p=r×(mv)\begin{align} \boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p} = \boldsymbol{r} \times (m\boldsymbol{v}) \end{align}

力矩定义为

M=r×F\begin{align} \boldsymbol{M} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} \end{align}

角动量定理：质点对固定点的角动量变化率等于作用于质点的合力对同一点的力矩：

dLdt=M\begin{align} \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{L}}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{M} \end{align}

对于质点系，总角动量的变化率等于所有外力矩之和（内力矩相互抵消）：

dLdt=∑iri×Fi(ext)=M(ext)\begin{align} \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{L}}{\mathrm{d}t} = \sum_i \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{F}_i^{\text{(ext)}} = \boldsymbol{M}^{\text{(ext)}} \end{align}

角动量守恒定律：若作用于质点（系）的合外力矩为零，则质点（系）对该点的角动量守恒。

能量定理

动能定理：质点动能的增量等于合外力所做的功：

d(12mv2)=F⋅dr\begin{align} \mathrm{d}\left( \frac{1}{2} mv^2 \right) = \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r} \end{align}

对于质点系，总动能的增量等于所有外力做功与所有内力做功之和：

dT=∑iFi(ext)⋅dri+∑i<jFij⋅d(ri−rj)\begin{align} \mathrm{d}T = \sum_i \boldsymbol{F}_i^{\text{(ext)}} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r}_i + \sum_{i<j} \boldsymbol{F}_{ij} \cdot \mathrm{d}(\boldsymbol{r}_i - \boldsymbol{r}_j) \end{align}

保守力与势能：若力 F\boldsymbol{F} 所做的功与路径无关，仅取决于起点和终点，则称为保守力。保守力可表示为势能的负梯度：

F=−∇V\begin{align} \boldsymbol{F} = -\nabla V \end{align}

常见的保守力有重力、弹性力、万有引力等。

机械能守恒定律：若作用于质点（系）的力均为保守力，则质点（系）的机械能（动能+势能）守恒：

T+V=常数\begin{align} T + V = \text{常数} \end{align}

三大守恒定律与对称性

守恒定律与时空对称性紧密相连：

对称性守恒量
时间平移对称性能量守恒
空间平移对称性动量守恒
空间旋转对称性角动量守恒

这些对称性是物理学中最深刻的原理之一，在分析力学中通过诺特定理得到更严格的表述。

总结

牛顿力学以牛顿三定律为基础，通过建立微分方程描述物体的运动。选择合适的坐标系可以简化问题的求解。对于质点系，三大守恒定律提供了强大的分析工具，它们与对称性紧密相关，为后续进入分析力学奠定了基础。

物理理论力学牛顿力学质点力学守恒定律

·文章标题：牛顿力学

·文章作者：NeoWangKing

·文章概要：本文是理论力学课程的第一篇笔记，系统介绍牛顿力学的基本体系，包括牛顿三定律、绝对时空观、常见坐标系下的运动方程、质点系动力学以及三大守恒定律（动量、角动量、能量），为后续分析力学奠定基础。

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