辐射

26 年 5 月 25 日 星期一 (已编辑)
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物理 电动力学 辐射 拉莫尔公式 辐射反作用

辐射的定义

当电荷加速时，它们的电场可以把能量不可逆地传送到无限远——这个过程我们称之为辐射。

辐射是携带能量不可逆地传播到无穷远的电磁场。只有场中 1/r1/r 项（加速度场）贡献辐射功率，因为 S∼E2∼1/r2S\sim E^2\sim 1/r^2，面积 4πr24\pi r^2 给出有限值。

电偶极辐射

振荡电偶极子 p(t)=p0cos⁡(ωt)\boldsymbol{p}(t) = \boldsymbol{p}_0\cos(\omega t)：

辐射场（远区）：

Erad=−μ0p¨4πrsin⁡θ θ^,Brad=−μ0p¨4πcrsin⁡θ ϕ^\begin{align} \boldsymbol{E}_{\text{rad}} = -\frac{\mu_0 \ddot{\boldsymbol{p}}}{4\pi r}\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\theta}}, \quad \boldsymbol{B}_{\text{rad}} = -\frac{\mu_0 \ddot{\boldsymbol{p}}}{4\pi c r}\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\phi}} \end{align}

坡印廷矢量（平均）：

⟨S⟩=μ0p02ω432π2csin⁡2θr2r^\begin{align} \langle\boldsymbol{S}\rangle = \frac{\mu_0 p_0^2\omega^4}{32\pi^2 c}\frac{\sin^2\theta}{r^2}\hat{\boldsymbol{r}} \end{align}

总辐射功率（平均）：

⟨P⟩=μ0p02ω412πc\begin{align} \langle P\rangle = \frac{\mu_0 p_0^2\omega^4}{12\pi c} \end{align}

角分布：sin⁡2θ\sin^2\theta 形式，沿偶极轴方向无辐射。

磁偶极辐射

振荡磁偶极子 m(t)=m0cos⁡(ωt)\boldsymbol{m}(t) = \boldsymbol{m}_0\cos(\omega t)：

辐射场：

Erad=μ0m¨4πcrsin⁡θϕ^,Brad=−μ0m¨4πc2rsin⁡θθ^\begin{align} \boldsymbol{E}_{\text{rad}} = \frac{\mu_0\ddot{\boldsymbol{m}}}{4\pi c r}\sin\theta \hat{\boldsymbol{\phi}},\quad \boldsymbol{B}_{\text{rad}} = -\frac{\mu_0\ddot{\boldsymbol{m}}}{4\pi c^2 r}\sin\theta \hat{\boldsymbol{\theta}} \end{align}

坡印廷矢量（平均）：

⟨S⟩=μ0m02ω432π2c3sin⁡2θr2r^\begin{align} \langle\boldsymbol{S}\rangle = \frac{\mu_0 m_0^2\omega^4}{32\pi^2 c^3}\frac{\sin^2\theta}{r^2}\hat{\boldsymbol{r}} \end{align}

总辐射功率（平均）：

⟨P⟩=μ0m02ω412πc3\begin{align} \langle P\rangle = \frac{\mu_0 m_0^2\omega^4}{12\pi c^3} \end{align}

通常比电偶极辐射弱 (ωb/c)2(\omega b/c)^2 倍。

任意源的辐射

远区辐射场由电偶极矩的二阶导数决定：

Erad=μ04πr[r^×(r^×p¨)],Brad=−μ04πcr[r^×p¨]\begin{align} \boldsymbol{E}_{\text{rad}} = \frac{\mu_0}{4\pi r}[\hat{\boldsymbol{r}}\times(\hat{\boldsymbol{r}}\times\ddot{\boldsymbol{p}})], \quad \boldsymbol{B}_{\text{rad}} = -\frac{\mu_0}{4\pi c r}[\hat{\boldsymbol{r}}\times\ddot{\boldsymbol{p}}] \end{align}

辐射功率：

Prad=μ06πc∣p¨∣2\begin{align} P_{\text{rad}} = \frac{\mu_0}{6\pi c}|\ddot{\boldsymbol{p}}|^2 \end{align}

运动点电荷的辐射

运动点电荷的电磁场

第10章已经给出，运动点电荷在任意运动状态下的电磁场为：

E(r,t)=q4πϵ0r(r⋅u)3[(c2−v2)u+r×(u×a)]\begin{align} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{\mathscr{r}}{(\boldsymbol{\mathscr{r}}\cdot\boldsymbol{u})^3} \left[(c^2 - v^2)\boldsymbol{u} + \boldsymbol{\mathscr{r}}\times(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a})\right] \end{align} B(r,t)=1cr^×E\begin{align} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t) = \frac{1}{c}\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\times\boldsymbol{E} \end{align}

其中：

  • r=r−w(tr)\boldsymbol{\mathscr{r}} = \boldsymbol{r} - \boldsymbol{w}(t_r) 是场点到推迟位置的矢量，r=∣r∣\mathscr{r} = |\boldsymbol{\mathscr{r}}|
  • v=w˙(tr)\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{w}}(t_r) 是推迟时刻的速度
  • a=v˙(tr)\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}(t_r) 是推迟时刻的加速度
  • u=cr^−v\boldsymbol{u} = c\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}} - \boldsymbol{v}，r^=r/r\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}} = \boldsymbol{\mathscr{r}}/\mathscr{r}

这个场分为两项：

  • 速度场（广义库仑场）：正比于 (c2−v2)u\left(c^2 - v^2\right)\boldsymbol{u}，随距离 1/r21/\mathscr{r}^2 衰减
  • 加速度场（辐射场）：正比于 r×(u×a)\boldsymbol{\mathscr{r}}\times(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a})，随距离 1/r1/\mathscr{r} 衰减

只有加速度场贡献辐射功率。

辐射场（远区，只保留 1/r1/r 项）

在远区（r→∞r \to \infty），辐射场为：

Erad(r,t)=q4πϵ01rr^×(r^×a)(1−r^⋅v/c)3\begin{align} \boldsymbol{E}_{\text{rad}}(\boldsymbol{r},t) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{\mathscr{r}}\frac{\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\times(\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\times\boldsymbol{a})} {\left(1 - \hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\cdot\boldsymbol{v}/c\right)^3} \end{align} Brad(r,t)=1cr^×Erad\begin{align} \boldsymbol{B}_{\text{rad}}(\boldsymbol{r},t) = \frac{1}{c}\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\times\boldsymbol{E}_{\text{rad}} \end{align}

功率的角分布（一般情形）

功率辐射到立体角 dΩ\mathrm{d}\Omega 中的速率（在粒子静止参考系中测量）为：

dPdΩ=q216π2ϵ0c∣r^×[(r^−β)×β˙]∣2(1−r^⋅β)5\begin{align} \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\Omega} = \frac{q^2}{16\pi^2\epsilon_0 c} \frac{|\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\times[(\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}-\boldsymbol{\beta})\times\dot{\boldsymbol{\beta}}]|^2} {(1 - \hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\cdot\boldsymbol{\beta})^5} \end{align}

其中 β=v/c\boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{v}/c，β˙=a/c\dot{\boldsymbol{\beta}} = \boldsymbol{a}/c。

这个公式适用于任意速度和加速度方向。

特殊情况

非相对论极限 (v≪cv \ll c)

当速度远小于光速时，β→0\boldsymbol{\beta} \to 0，分母 (1−r^⋅β)5→1(1 - \hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\cdot\boldsymbol{\beta})^5 \to 1，辐射场简化为：

Erad=q4πϵ0c2rr^×(r^×a)\begin{align} \boldsymbol{E}_{\text{rad}} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 c^2 \mathscr{r}}\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\times(\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\times\boldsymbol{a}) \end{align}

角分布：

dPdΩ=q2a216π2ϵ0c3sin⁡2θ\begin{align} \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\Omega} = \frac{q^2 a^2}{16\pi^2\epsilon_0 c^3}\sin^2\theta \end{align}

其中 θ\theta 是观察方向与加速度方向的夹角。

总功率（拉莫尔公式）：

P=q2a26πϵ0c3=μ0q2a26πc\begin{align} P = \frac{q^2 a^2}{6\pi\epsilon_0 c^3} = \frac{\mu_0 q^2 a^2}{6\pi c} \end{align}

v∥a\boldsymbol{v} \parallel \boldsymbol{a}（直线加速/减速，轫致辐射）

此时 r^×(r^×a)\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\times(\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\times\boldsymbol{a}) 的模方为 a2sin⁡2θa^2\sin^2\theta，角分布为：

dPdΩ=q2a216π2ϵ0c3sin⁡2θ(1−βcos⁡θ)5\begin{align} \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\Omega} = \frac{q^2 a^2}{16\pi^2\epsilon_0 c^3} \frac{\sin^2\theta}{(1 - \beta\cos\theta)^5} \end{align}

总功率（李纳公式的特例）：

P=μ0q2a26πcγ6\begin{align} P = \frac{\mu_0 q^2 a^2}{6\pi c}\gamma^6 \end{align}

辐射集中在向前方向（θ≈0\theta \approx 0），锥角 θ∼1/γ\theta \sim 1/\gamma。

v⊥a\boldsymbol{v} \perp \boldsymbol{a}（圆周运动，同步辐射）

角分布为：

dPdΩ=q2a216π2ϵ0c3(1−βcos⁡θ)2−(1−β2)sin⁡2θcos⁡2ϕ(1−βcos⁡θ)5\begin{align} \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\Omega} = \frac{q^2 a^2}{16\pi^2\epsilon_0 c^3} \frac{(1 - \beta\cos\theta)^2 - (1 - \beta^2)\sin^2\theta\cos^2\phi} {(1 - \beta\cos\theta)^5} \end{align}

总功率：

P=μ0q2a26πcγ4\begin{align} P = \frac{\mu_0 q^2 a^2}{6\pi c}\gamma^4 \end{align}

5. 辐射反作用力

阿布拉罕-洛伦兹公式（非相对论）

Frad=μ0q26πca˙\begin{align} \boldsymbol{F}_{\text{rad}} = \frac{\mu_0 q^2}{6\pi c}\dot{\boldsymbol{a}} \end{align}

相对论推广

闵可夫斯基力形式：

Kradμ=μ0q26πcdαμdτ\begin{align} K_{\text{rad}}^\mu = \frac{\mu_0 q^2}{6\pi c}\frac{\mathrm{d}\alpha^\mu}{\mathrm{d}\tau} \end{align}

其中 αμ=dημ/dτ\alpha^\mu = \mathrm{d}\eta^\mu/\mathrm{d}\tau 是四维加速度，ημ\eta^\mu 是四维速度。

存在的问题

  • 超前效应（预加速度）：外力还没施加，粒子就开始加速
  • Runaway 解：无外力时，加速度自发指数增长 a(t)=a0et/τa(t) = a_0 e^{t/\tau}
  • 只有在周期性运动中，平均效果才满足能量守恒

辐射阻尼

在简谐运动中，γrad=ω2τ\gamma_{\text{rad}} = \omega^2\tau，其中：

τ=μ0q26πmc\begin{align} \tau = \frac{\mu_0 q^2}{6\pi m c} \end{align}

对电子，τ≈6×10−24 s\tau \approx 6 \times 10^{-24}\,\text{s}。

物理电动力学辐射拉莫尔公式辐射反作用

·文章标题：辐射

·文章作者：NeoWangKing

·文章概要：本文系统介绍电磁辐射理论，包括电偶极辐射、磁偶极辐射、任意源的辐射、运动点电荷的辐射（拉莫尔公式和李纳公式）以及辐射反作用力。

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