势和场

26 年 5 月 13 日 星期三 (已编辑)
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物理 电动力学 势 推迟势 李纳-维谢尔

标势和矢势

由 ∇⋅B=0\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0 引入矢势 A\boldsymbol{A}，B=∇×A\boldsymbol{B} = \nabla\times\boldsymbol{A}。

由法拉第定律引入标势 VV，E=−∇V−∂A∂t\boldsymbol{E} = -\nabla V - \dfrac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}。

规范变换

物理量 E\boldsymbol{E} 和 B\boldsymbol{B} 在以下变换下不变：

A′=A+∇λ,V′=V−∂λ∂t\begin{align} \boldsymbol{A}' = \boldsymbol{A} + \nabla\lambda, \quad V' = V - \frac{\partial\lambda}{\partial t} \end{align}

洛伦兹规范

∇⋅A+μ0ϵ0∂V∂t=0\begin{align} \nabla\cdot\boldsymbol{A} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial V}{\partial t} = 0 \end{align}

在该规范下，A\boldsymbol{A} 和 VV 满足非齐次波动方程：

□2V=−ρϵ0,□2A=−μ0J\begin{align} \Box^2 V = -\frac{\rho}{\epsilon_0}, \quad \Box^2 \boldsymbol{A} = -\mu_0\boldsymbol{J} \end{align}

其中 □2=∇2−1c2∂2∂t2\Box^2 = \nabla^2 - \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2} 是达朗贝尔算符。

库仑规范

∇⋅A=0\nabla\cdot\boldsymbol{A}=0，VV 满足泊松方程（瞬时的），但 A\boldsymbol{A} 的方程复杂。

推迟势

V(r,t)=14πϵ0∫ρ(r′,tr)r dτ′,A(r,t)=μ04π∫J(r′,tr)r dτ′\begin{align} V(\boldsymbol{r},t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{\rho(\boldsymbol{r}',t_r)}{\mathscr{r}}\,\mathrm{d}\tau', \quad \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r},t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r}',t_r)}{\mathscr{r}}\,\mathrm{d}\tau' \end{align}

其中 tr=t−r/ct_r = t - \mathscr{r}/c 是推迟时间。

杰菲缅科方程

电场和磁场的显式表达式：

E(r,t)=14πϵ0∫[ρ(r′,tr)r2r^+ρ˙(r′,tr)crr^−J˙(r′,tr)c2r]dτ′\begin{align} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \left[\frac{\rho(\boldsymbol{r}',t_r)}{\mathscr{r}^2}\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}} + \frac{\dot{\rho}(\boldsymbol{r}',t_r)}{c\mathscr{r}}\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}} - \frac{\dot{\boldsymbol{J}}(\boldsymbol{r}',t_r)}{c^2\mathscr{r}}\right]\mathrm{d}\tau' \end{align} B(r,t)=μ04π∫[J(r′,tr)r2+J˙(r′,tr)cr]×r^ dτ′\begin{align} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \left[\frac{\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r}',t_r)}{\mathscr{r}^2} + \frac{\dot{\boldsymbol{J}}(\boldsymbol{r}',t_r)}{c\mathscr{r}}\right]\times\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\,\mathrm{d}\tau' \end{align}

李纳-维谢尔势

运动点电荷的势：

V(r,t)=14πϵ0qr(1−r^⋅v/c),A(r,t)=vc2V\begin{align} V(\boldsymbol{r},t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{\mathscr{r}(1-\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\cdot\boldsymbol{v}/c)}, \quad \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r},t) = \frac{\boldsymbol{v}}{c^2}V \end{align}

其中 r=r−w(tr)\boldsymbol{\mathscr{r}} = \boldsymbol{r} - \boldsymbol{w}(t_r)，v=w˙(tr)\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{w}}(t_r)。

运动点电荷的场

定义 u=cr^−v\boldsymbol{u} = c\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}} - \boldsymbol{v}，则

E(r,t)=q4πϵ0r(r⋅u)3[(c2−v2)u+r×(u×a)]\begin{align} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{\mathscr{r}}{(\boldsymbol{\mathscr{r}}\cdot\boldsymbol{u})^3}\left[(c^2-v^2)\boldsymbol{u} + \boldsymbol{\mathscr{r}}\times(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a})\right] \end{align} B(r,t)=1cr^×E\begin{align} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t) = \frac{1}{c}\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\times\boldsymbol{E} \end{align}

其中 a=v˙\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} 是加速度（在推迟时刻）。

速度场（1/r21/r^2 项）和加速度场（1/r1/r 项，辐射场）。

物理电动力学势推迟势李纳-维谢尔

·文章标题：势和场

·文章作者：NeoWangKing

·文章概要：本文系统介绍电动力学中的标势和矢势、规范变换、推迟势、杰菲缅科方程以及运动点电荷的李纳-维谢尔势和场。

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