电磁波

1. 一维波动基础

1.1 波动方程与行波解

一维波动方程：

其通解为 $f(z,t) = g(z-vt) + h(z+vt)$，分别表示沿 $+z$ 和 $-z$ 方向传播的波，形状不变，速度为 $v$。

正弦波：$f(z,t) = A\cos(kz-\omega t + \delta)$，其中 $k$ 为波数，$\omega = kv$ 为角频率，波长 $\lambda = 2\pi/k$，周期 $T=2\pi/\omega$。

复数表示：$\tilde{f}(z,t) = \tilde{A}e^{i(kz-\omega t)}$，实际场为实部。复数表示可以简化叠加和微分运算，其中的 $\tilde{A} = A e^{i\delta}$ 称为复振幅，包含了振幅和初相位的信息。

偏振：横波有两个独立偏振方向。线偏振波可用偏振矢量 $\hat{\boldsymbol{n}}$ 描述，$\tilde{\boldsymbol{f}} = \tilde{A}e^{i(kz-\omega t)}\hat{\boldsymbol{n}}$，$\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\hat{\boldsymbol{z}}=0$。圆偏振是两个正交线偏振波相位差 $90^\circ$ 的叠加。

2. 真空中的电磁波

2.1 波动方程

在真空（$\rho=0,\boldsymbol{J}=0$）中，麦克斯韦方程组为：

取旋度并利用恒等式 $\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{E}) = \nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{E})-\nabla^2\boldsymbol{E}$，得到：

因此电磁波在真空中传播的速度为 $c = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$。

2.2 单色平面波解

设波沿 $z$ 方向传播，电场为 $\tilde{\boldsymbol{E}}(z,t)=\tilde{\boldsymbol{E}}_0 e^{i(kz-\omega t)}$，由 $\nabla\cdot\boldsymbol{E}=0$ 得 $\tilde{E}_{0z}=0$，即横波。由法拉第定律得：

故 $\boldsymbol{E}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 同相，振幅关系 $B_0 = E_0/c$，且 $\boldsymbol{E}\perp\boldsymbol{B}\perp\hat{\boldsymbol{k}}$。

一般传播方向 $\boldsymbol{k}$，极化矢量 $\hat{\boldsymbol{n}}$（$\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\hat{\boldsymbol{k}}=0$）：

2.3 能量、动量与辐射压

能量密度：

对平面波 $B^2 = E^2/c^2 = \mu_0\epsilon_0 E^2$，故

坡印廷矢量：

坡印廷矢量表示瞬时的能量传输：

时间平均（对周期平均，$\langle\cos^2\rangle=1/2$）：

其中 $I$ 为强度（平均能流密度）。

动量密度：$\boldsymbol{g} = \epsilon_0\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B} = \boldsymbol{S}/c^2$，平均值 $\langle \boldsymbol{g}\rangle = I/c^2\,\hat{\boldsymbol{k}}$。

辐射压：对完全吸收表面，$P = \langle S\rangle/c = I/c$；对完全反射表面（动量反向），$P = 2I/c$。

3. 物质中的电磁波

3.1 线性介质中的传播

在无自由电荷和电流的线性均匀介质（$\epsilon,\mu$）中，麦克斯韦方程组形式与真空相同

其中 $\boldsymbol{D} = \epsilon \boldsymbol{E}$ ， $\boldsymbol{H}=\frac{1}{\mu}\boldsymbol{B}$ 。代入即可得到波动方程，波速 $v = 1/\sqrt{\epsilon\mu} = c/n$，折射率 $n = \sqrt{\epsilon_r\mu_r}$（通常 $\mu_r\approx1$，故 $n\approx\sqrt{\epsilon_r}$）。

平面波解：

能量密度：

坡印廷矢量：

平均强度 $I = \frac{1}{2}\epsilon v E_0^2$。

边界条件：在两种介质的分界面上，电场和磁场满足：

3.2 反射与透射：正入射

设界面 $z=0$，介质1（$n_1$）和介质2（$n_2$），入射波沿 $+z$，反射波沿 $-z$，透射波沿 $+z$。电场偏振沿 $x$，磁场沿 $y$（注意反射波磁场反向）。

入射：$\displaystyle \tilde{\boldsymbol{E}}_I = \tilde{E}_{0I}e^{i(k_1z-\omega t)}\hat{\boldsymbol{x}},\quad \tilde{\boldsymbol{B}}_I = \frac{1}{v_1}\tilde{E}_{0I}e^{i(k_1z-\omega t)}\hat{\boldsymbol{y}}$

反射：$\displaystyle \tilde{\boldsymbol{E}}_R = \tilde{E}_{0R}e^{i(-k_1z-\omega t)}\hat{\boldsymbol{x}},\quad \tilde{\boldsymbol{B}}_R = -\frac{1}{v_1}\tilde{E}_{0R}e^{i(-k_1z-\omega t)}\hat{\boldsymbol{y}}$

透射：$\displaystyle \tilde{\boldsymbol{E}}_T = \tilde{E}_{0T}e^{i(k_2z-\omega t)}\hat{\boldsymbol{x}},\quad \tilde{\boldsymbol{B}}_T = \frac{1}{v_2}\tilde{E}_{0T}e^{i(k_2z-\omega t)}\hat{\boldsymbol{y}}$

边界条件：$E_\parallel$ 连续，$\frac{1}{\mu}B_\parallel$ 连续（无面电流）。得：

定义 $\displaystyle \beta \equiv \frac{\mu_1 v_1}{\mu_2 v_2} = \frac{\mu_1 n_2}{\mu_2 n_1}$，通常 $\mu_1\approx\mu_2$，故 $\beta \approx n_2/n_1$。解得：

反射和透射系数

满足 $R+T=1$。当 $n_2>n_1$，反射波有 $\pi$ 相位跳变（若 $\beta>1$，$\tilde{E}_{0R}<0$）。

3.3 反射与透射：斜入射（菲涅耳公式）

设入射面为 $xz$ 平面，界面 $z=0$。入射波矢 $\boldsymbol{k}_I$，反射 $\boldsymbol{k}_R$，透射 $\boldsymbol{k}_T$。由边界相位匹配得反射定律 $\theta_I=\theta_R$ 和斯涅尔定律 $n_1\sin\theta_I = n_2\sin\theta_T$。

记 $\alpha \equiv \cos\theta_T / \cos\theta_I$ ， 通过边界条件可以推出：

极化平行于入射面（TM 或 p 极化）：

反射和透射系数

有 $R_\parallel+T_\parallel=1$。

极化垂直于入射面（TE 或 s 极化）：

反射和透射系数

布儒斯特角：当 $\alpha=\beta$ 时 p 极化的反射系数为零，此时 $\theta_I\equiv\theta_B$，满足 $\tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1}$（$\mu_1=\mu_2$）。此时反射光为纯垂直极化（s 极化）。

有 $R_\perp+T_\perp=1$。s 极化无布儒斯特角（反射系数不降为零，除非 $n_1=n_2$）。

全反射：当 $\theta_I$ 大于临界角 $\theta_c=\sin^{-1}(n_2/n_1)$（$n_1>n_2$）时，发生全反射（$\cos\theta_T$ 为虚数），透射波为倏逝波（沿界面传播，指数衰减离开界面）。

4. 导体中的电磁波

4.1 波动方程与复介电常数

在导体中，有欧姆定律 $\boldsymbol{J}_f=\sigma\boldsymbol{E}$，麦克斯韦方程变为：

于是就有

设平面波 $\tilde{\boldsymbol{E}}=\tilde{\boldsymbol{E}}_0 e^{i(\tilde{k}z-\omega t)}$，得复波数：

令 $\tilde{k}=k+i\kappa$，解出：

电场 $\tilde{\boldsymbol{E}}=\tilde{\boldsymbol{E}}_0 e^{-\kappa z}e^{i(kz-\omega t)}$，振幅指数衰减

趋肤深度：

4.2 良导体与劣导体近似

• 良导体 $\sigma \gg \epsilon\omega$：$k\approx\kappa\approx\sqrt{\frac{\sigma\mu\omega}{2}}$，$d=\sqrt{\frac{2}{\sigma\mu\omega}}$，磁场滞后电场 $45^\circ$。
• 劣导体 $\sigma \ll \epsilon\omega$：$d\approx\frac{2}{\sigma}\sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}}$（与频率无关）。

4.3 反射系数（正常入射）

从介质（非导体）入射到导体，反射系数同前公式，只需将介质2的波数替换为复波数 $\tilde{k}_2$，并定义 $\tilde{\beta}=\frac{\mu_1 v_1}{\mu_2\omega}\tilde{k}_2$。对于理想导体（$\sigma\to\infty$），$\tilde{\beta}\to\infty$，$\tilde{E}_{0R}=-\tilde{E}_{0I}$，$\tilde{E}_{0T}=0$，全反射。

5. 色散与介质模型

5.1 电子受迫振动模型

电子（电荷 $q$，质量 $m$）束缚在原子中，受弹性力 $-m\omega_0^2x$、阻尼力 $-m\gamma\dot{x}$ 和电场驱动力 $qE_0\cos\omega t$。运动方程：

复数解：$\tilde{x}(t)=\tilde{x}_0 e^{-i\omega t}$，$\tilde{x}_0 = \frac{q/m}{\omega_0^2-\omega^2-i\gamma\omega}E_0$。

单个分子有 $f_j$ 个电子（振子强度）对应频率 $\omega_j$、阻尼 $\gamma_j$，则极化强度：

故复介电常数：

5.2 折射率与吸收系数

令 $\tilde{k}=\frac{\omega}{c}\sqrt{\tilde{\epsilon}_r}$，则 $n=\frac{ck}{\omega}$，吸收系数 $\alpha=2\kappa$。在共振频率附近，$n$ 变化剧烈，出现反常色散，且 $\alpha$ 大（吸收峰）。

5.3 等离子体（冷等离子体）

等离子体中，电子自由（$\omega_0=0$，忽略阻尼），则有

其中 $\omega_p=\sqrt{\frac{Ne^2}{m\epsilon_0}}$ 为等离子体频率。色散关系 $\omega^2 = \omega_p^2 + c^2k^2$。

当 $\omega<\omega_p$，$k$ 为虚数，波不能传播（全反射）。等离子体振荡频率 $\omega_p$。

导出电磁波的色散关系

设电子质量 $m$，电荷 $-e$，电磁波电场 $\boldsymbol{E} = \boldsymbol{E}_0 e^{-i\omega t}$（取复数形式，实际场为实部）。忽略磁场力（非相对论近似，$v \ll c$），电子运动方程为：

$$m \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t} = -e \boldsymbol{E}$$

代入时谐形式 $\boldsymbol{v} = \boldsymbol{v}_0 e^{-i\omega t}$，得：

$$-i\omega m \boldsymbol{v} = -e \boldsymbol{E} \quad\Longrightarrow\quad \boldsymbol{v} = \frac{e}{i\omega m} \boldsymbol{E} = -\frac{ie}{m\omega} \boldsymbol{E}$$

电子数密度为 $n_e$，电流密度 $\boldsymbol{J} = -n_e e \boldsymbol{v}$，代入上式：

$$\boldsymbol{J} = -n_e e \left( -\frac{ie}{m\omega} \boldsymbol{E} \right) = \frac{i n_e e^2}{m\omega} \boldsymbol{E}$$

因此等离子体的电导率为：

$$\sigma = \frac{i n_e e^2}{m\omega}$$

由 $\epsilon_r = 1 + \dfrac{i\sigma}{\epsilon_0 \omega}$，代入 $\sigma$ 得：

$$\epsilon_r(\omega) = 1 - \frac{n_e e^2}{\epsilon_0 m \omega^2} = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2}$$

其中 $\omega_p = \sqrt{\dfrac{n_e e^2}{\epsilon_0 m}}$ 为等离子体频率。

在无源介质中，电磁波的色散关系为 $k^2 = \dfrac{\omega^2}{c^2} \epsilon_r(\omega)$，故：

$$\boxed{k^2 = \frac{\omega^2}{c^2} \left( 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2} \right)}$$

等价地写成能量形式：

$$\boxed{\omega^2 = \omega_p^2 + c^2 k^2}$$

这是冷等离子体中电磁波的基本色散关系。

考虑碰撞（阻尼）时，有

这时候波会有衰减，衰减长度 $L=1/\mathrm{Im}(k)$（回忆卷考点）。

6. 波导（Wave Guides）

6.1 一般理论与模式分类

考虑理想导体壁构成的中空波导，内部无源，波沿 $z$ 方向传播，场形为

纵向分量 $E_z, B_z$ 满足亥姆霍兹方程：

横向场由纵向场导出（见讲义公式9.180）。边界条件：导体表面切向电场为零，法向磁场为零（即 $E_z=0$ 对 TM，$\partial B_z/\partial n=0$ 对 TE）。

模式分类：

• TEM：$E_z=0, B_z=0$，仅在同轴线等双导体结构中存在，无色散 $k=\omega/c$。
• TE（Transverse Electric）：$E_z=0, B_z\neq0$。
• TM（Transverse Magnetic）：$B_z=0, E_z\neq0$。

空心波导中 TEM 不存在.

证明：

如果 $E_z = 0$ ，由高斯定理有

$$\begin{aligned} \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} = 0 \end{aligned}$$

而如果 $B_z = 0$ ，由法拉利定理有

$$\begin{aligned} \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} = 0 \end{aligned}$$

若要二者同时满足，只有一种可能，压根就没有波.

6.2 矩形波导

尺寸 $a\times b$（$a\ge b$）。

TE 模：

色散关系 $k = \frac{1}{c}\sqrt{\omega^2-\omega_{mn}^2}$，截止频率 $\omega_{mn}=c\pi\sqrt{(m/a)^2+(n/b)^2}$。最低模式 TE$_{10}$，截止 $\omega_{10}=c\pi/a$。

TM 模：

同样色散关系，最低 TM$_{11}$，截止 $\omega_{11}=c\pi\sqrt{1/a^2+1/b^2}$。TM$_{m0}$ 或 TM$_{0n}$ 不存在（因边界条件迫使 $E_z=0$）。

相速度：

注意这里像速度会快于光速 $c$ .

群速度：

能流由坡印廷矢量积分得到，能量以群速度传输。

6.3 平行板波导（回忆卷）

两导体板间距 $d$，波沿 $x$ 方向，场与 $y$ 无关。TE$_m$ 模：

色散 $k=\sqrt{\omega^2/c^2-(m\pi/d)^2}$，截止 $\omega_{c,m}=m\pi c/d$。平均能流密度 $\langle S_x\rangle = \frac{1}{2\mu_0}\frac{k}{\omega}|E_0|^2\cos^2(m\pi z/d)$。

TM$_m$ 模（$m\ge1$）：$E_z=E_0\sin(m\pi z/d)e^{i(kx-\omega t)}$。

6.4 同轴线（TEM 模）

同轴线可支持 TEM 模，场分布类似静电场和静磁场：$\boldsymbol{E}=\frac{A}{s}\hat{\boldsymbol{s}}e^{i(kz-\omega t)}$，$\boldsymbol{B}=\frac{A}{cs}\hat{\boldsymbol{\phi}}e^{i(kz-\omega t)}$，无色散 $k=\omega/c$，截止频率为零。