矢量分析

26 年 2 月 28 日 星期六 (已编辑)
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物理 电动力学 矢量分析 张量

矢量代数

基本运算

  1. 加法：A+B=B+A\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B} = \boldsymbol{B} + \boldsymbol{A}，满足交换律和结合律。
  2. 数乘：α(A+B)=αA+αB\alpha(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) = \alpha\boldsymbol{A} + \alpha\boldsymbol{B}。
  3. 点乘（标量积）：A⋅B=ABcos⁡θ\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = AB\cos\theta，满足交换律。
  4. 叉乘（矢量积）：A×B=ABsin⁡θ n^\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} = AB\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{n}}，满足分配律，但不满足交换律：B×A=−(A×B)\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{A} = -(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})。

三重积

标量三重积（混合积）：

A⋅(B×C)=B⋅(C×A)=C⋅(A×B)\begin{align} \boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) = \boldsymbol{B}\cdot(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{A}) = \boldsymbol{C}\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}) \end{align}

矢量三重积（BAC-CAB规则）：

A×(B×C)=B(A⋅C)−C(A⋅B)\begin{align} \boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) = \boldsymbol{B}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C}) - \boldsymbol{C}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}) \end{align}

四个矢量的点乘关系：

(A×B)⋅(C×D)=(A⋅C)(B⋅D)−(A⋅D)(B⋅C)\begin{align} (\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})\cdot(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{D}) = (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C})(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{D}) - (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{D})(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}) \end{align}

矢量微分学

梯度

标量场 T(x,y,z)T(x,y,z) 的梯度定义为

∇T=∂T∂xx^+∂T∂yy^+∂T∂zz^\begin{align} \nabla T = \frac{\partial T}{\partial x}\hat{\boldsymbol{x}} + \frac{\partial T}{\partial y}\hat{\boldsymbol{y}} + \frac{\partial T}{\partial z}\hat{\boldsymbol{z}} \end{align}

梯度算符 ∇=x^∂∂x+y^∂∂y+z^∂∂z\nabla = \hat{\boldsymbol{x}}\dfrac{\partial}{\partial x} + \hat{\boldsymbol{y}}\dfrac{\partial}{\partial y} + \hat{\boldsymbol{z}}\dfrac{\partial}{\partial z}。梯度方向是函数 TT 增加最快的方向，其大小等于该方向的方向导数。例如，r=x2+y2+z2r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}，则 ∇r=r^\nabla r = \hat{\boldsymbol{r}}。

散度

矢量场 v\boldsymbol{v} 的散度为

∇⋅v=∂vx∂x+∂vy∂y+∂vz∂z\begin{align} \nabla\cdot\boldsymbol{v} = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z} \end{align}

散度衡量场从某一点发散的程度：正散度表示源（向外发散），负散度表示汇（向内汇聚）。

旋度

矢量场 v\boldsymbol{v} 的旋度为

∇×v=∣x^y^z^∂∂x∂∂y∂∂zvxvyvz∣=(∂vz∂y−∂vy∂z)x^+(∂vx∂z−∂vz∂x)y^+(∂vy∂x−∂vx∂y)z^\begin{align} \nabla\times\boldsymbol{v} = \begin{vmatrix} \hat{\boldsymbol{x}} & \hat{\boldsymbol{y}} & \hat{\boldsymbol{z}} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix} = \left(\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z}\right)\hat{\boldsymbol{x}} + \left(\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x}\right)\hat{\boldsymbol{y}} + \left(\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}\right)\hat{\boldsymbol{z}} \end{align}

旋度方向为最大环量密度的方向，大小反映旋转的强弱。

常用恒等式

  1. 梯度：
∇(fg)=f∇g+g\nnablaf\begin{align} \nabla(fg) = f\nabla g + g\nnabla f \end{align} ∇(A⋅B)=A×(∇×B)+B×(∇×A)+(A⋅∇)B+(B⋅∇)A\begin{align} \nabla(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}) = \boldsymbol{A}\times(\nabla\times\boldsymbol{B}) + \boldsymbol{B}\times(\nabla\times\boldsymbol{A}) + (\boldsymbol{A}\cdot\nabla)\boldsymbol{B} + (\boldsymbol{B}\cdot\nabla)\boldsymbol{A} \end{align}
  1. 散度：
∇⋅(fA)=f(∇⋅A)+A⋅(∇f)\begin{align} \nabla\cdot(f\boldsymbol{A}) = f(\nabla\cdot\boldsymbol{A}) + \boldsymbol{A}\cdot(\nabla f) \end{align} ∇⋅(A×B)=B⋅(∇×A)−A⋅(∇×B)\begin{align} \nabla\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}) = \boldsymbol{B}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A}) - \boldsymbol{A}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{B}) \end{align}
  1. 旋度：
∇×(fA)=f(∇×A)+A×(∇f)\begin{align} \nabla\times(f\boldsymbol{A}) = f(\nabla\times\boldsymbol{A}) + \boldsymbol{A}\times(\nabla f) \end{align} ∇×(A×B)=(B⋅∇)A−(A⋅∇)B+A(∇⋅B)−B(∇⋅A)\begin{align} \nabla\times(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}) = (\boldsymbol{B}\cdot\nabla)\boldsymbol{A} - (\boldsymbol{A}\cdot\nabla)\boldsymbol{B} + \boldsymbol{A}(\nabla\cdot\boldsymbol{B}) - \boldsymbol{B}(\nabla\cdot\boldsymbol{A}) \end{align}

矢量积分学

梯度定理

∫ab(∇T)⋅dl=T(b)−T(a)\begin{align} \int_{\boldsymbol{a}}^{\boldsymbol{b}} (\nabla T)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} = T(\boldsymbol{b}) - T(\boldsymbol{a}) \end{align}

推论：沿闭合回路积分 ∮(∇T)⋅dl=0\oint (\nabla T)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}=0。

散度定理（高斯定理）

∭V(∇⋅v) dτ=∯S=∂Vv⋅da\begin{align} \iiint_{V} (\nabla\cdot\boldsymbol{v})\,\mathrm{d}\tau = \oiint_{S=\partial V} \boldsymbol{v}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{a} \end{align}

旋度定理（斯托克斯定理）

∬S(∇×v)⋅da=∮L=∂Sv⋅dl\begin{align} \iint_{S} (\nabla\times\boldsymbol{v})\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{a} = \oint_{L=\partial S} \boldsymbol{v}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} \end{align}

曲线坐标系

球坐标系

坐标 (r,θ,ϕ)(r,\theta,\phi)，变换关系：x=rsin⁡θcos⁡ϕx = r\sin\theta\cos\phi，y=rsin⁡θsin⁡ϕy = r\sin\theta\sin\phi，z=rcos⁡θz = r\cos\theta。

线元、面元、体元：

dl=dr r^+rdθ θ^+rsin⁡θ dϕ ϕ^\begin{align} \mathrm{d}\boldsymbol{l} = \mathrm{d}r\,\hat{\boldsymbol{r}} + r\mathrm{d}\theta\,\hat{\boldsymbol{\theta}} + r\sin\theta\,\mathrm{d}\phi\,\hat{\boldsymbol{\phi}} \end{align} dar=r2sin⁡θ dθdϕ r^,dτ=r2sin⁡θ drdθdϕ\begin{align} \mathrm{d}\boldsymbol{a}_r = r^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi\,\hat{\boldsymbol{r}}, \quad \mathrm{d}\tau = r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi \end{align}

梯度：

∇T=∂T∂rr^+1r∂T∂θθ^+1rsin⁡θ∂T∂ϕϕ^\begin{align} \nabla T = \frac{\partial T}{\partial r}\hat{\boldsymbol{r}} + \frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial T}{\partial\phi}\hat{\boldsymbol{\phi}} \end{align}

散度：

∇⋅v=1r2∂∂r(r2vr)+1rsin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ vθ)+1rsin⁡θ∂vϕ∂ϕ\begin{align} \nabla\cdot\boldsymbol{v} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 v_r) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\,v_\theta) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial v_\phi}{\partial\phi} \end{align}

旋度：

∇×v=1rsin⁡θ[∂∂θ(sin⁡θ vϕ)−∂vθ∂ϕ]r^+1r[1sin⁡θ∂vr∂ϕ−∂∂r(rvϕ)]θ^+1r[∂∂r(rvθ)−∂vr∂θ]ϕ^\begin{align} \nabla\times\boldsymbol{v} = &\frac{1}{r\sin\theta}\left[\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\,v_\phi)-\frac{\partial v_\theta}{\partial\phi}\right]\hat{\boldsymbol{r}} \\ &+ \frac{1}{r}\left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial v_r}{\partial\phi}-\frac{\partial}{\partial r}(r v_\phi)\right]\hat{\boldsymbol{\theta}} \\ &+ \frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}(r v_\theta)-\frac{\partial v_r}{\partial\theta}\right]\hat{\boldsymbol{\phi}} \end{align}

拉普拉斯算符：

∇2T=1r2∂∂r(r2∂T∂r)+1r2sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂T∂θ)+1r2sin⁡2θ∂2T∂ϕ2\begin{align} \nabla^2 T = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial T}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial T}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 T}{\partial\phi^2} \end{align}

柱坐标系

坐标 (s,ϕ,z)(s,\phi,z)，x=scos⁡ϕx = s\cos\phi，y=ssin⁡ϕy = s\sin\phi，z=zz=z。

线元、体元：

dl=ds s^+sdϕ ϕ^+dz z^,dτ=s dsdϕdz\begin{align} \mathrm{d}\boldsymbol{l} = \mathrm{d}s\,\hat{\boldsymbol{s}} + s\mathrm{d}\phi\,\hat{\boldsymbol{\phi}} + \mathrm{d}z\,\hat{\boldsymbol{z}}, \quad \mathrm{d}\tau = s\,\mathrm{d}s\mathrm{d}\phi\mathrm{d}z \end{align}

梯度：

∇T=∂T∂ss^+1s∂T∂ϕϕ^+∂T∂zz^\begin{align} \nabla T = \frac{\partial T}{\partial s}\hat{\boldsymbol{s}} + \frac{1}{s}\frac{\partial T}{\partial\phi}\hat{\boldsymbol{\phi}} + \frac{\partial T}{\partial z}\hat{\boldsymbol{z}} \end{align}

散度：

∇⋅v=1s∂∂s(svs)+1s∂vϕ∂ϕ+∂vz∂z\begin{align} \nabla\cdot\boldsymbol{v} = \frac{1}{s}\frac{\partial}{\partial s}(s v_s) + \frac{1}{s}\frac{\partial v_\phi}{\partial\phi} + \frac{\partial v_z}{\partial z} \end{align}

旋度：

∇×v=(1s∂vz∂ϕ−∂vϕ∂z)s^+(∂vs∂z−∂vz∂s)ϕ^+1s[∂∂s(svϕ)−∂vs∂ϕ]z^\begin{align} \nabla\times\boldsymbol{v} = \left(\frac{1}{s}\frac{\partial v_z}{\partial\phi}-\frac{\partial v_\phi}{\partial z}\right)\hat{\boldsymbol{s}} + \left(\frac{\partial v_s}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial s}\right)\hat{\boldsymbol{\phi}} + \frac{1}{s}\left[\frac{\partial}{\partial s}(s v_\phi)-\frac{\partial v_s}{\partial\phi}\right]\hat{\boldsymbol{z}} \end{align}

拉普拉斯算符：

∇2T=1s∂∂s(s∂T∂s)+1s2∂2T∂ϕ2+∂2T∂z2\begin{align} \nabla^2 T = \frac{1}{s}\frac{\partial}{\partial s}\left(s\frac{\partial T}{\partial s}\right) + \frac{1}{s^2}\frac{\partial^2 T}{\partial\phi^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} \end{align}

狄拉克δ函数

一维δ函数满足

δ(x)=0 (x≠0),∫−∞∞δ(x) dx=1,∫−∞∞f(x)δ(x−a) dx=f(a)\begin{align} \delta(x) = 0 \ (x \neq 0), \quad \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\,\mathrm{d}x = 1, \quad \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x-a)\,\mathrm{d}x = f(a) \end{align}

性质：

  • 偶函数：δ(−x)=δ(x)\delta(-x)=\delta(x)
  • 缩放：δ(kx)=1∣k∣δ(x)\delta(kx) = \dfrac{1}{|k|}\delta(x)
  • 与函数乘积：f(x)δ(x−a)=f(a)δ(x−a)f(x)\delta(x-a) = f(a)\delta(x-a)

三维δ函数：

δ3(r)=δ(x)δ(y)δ(z),∭f(r) δ3(r−a) dτ=f(a)\begin{align} \delta^3(\boldsymbol{r}) = \delta(x)\delta(y)\delta(z), \quad \iiint f(\boldsymbol{r})\,\delta^3(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a})\,\mathrm{d}\tau = f(\boldsymbol{a}) \end{align}

重要恒等式：

∇⋅(rr3)=4πδ3(r),∇2(1r)=−4πδ3(r)\begin{align} \nabla\cdot\left(\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\right) = 4\pi\delta^3(\boldsymbol{r}), \quad \nabla^2\left(\frac{1}{r}\right) = -4\pi\delta^3(\boldsymbol{r}) \end{align}

矢量场理论

亥姆霍兹定理

矢量场 F(r)\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) 由其散度 D(r)=∇⋅FD(\boldsymbol{r})=\nabla\cdot\boldsymbol{F} 和旋度 C(r)=∇×F\boldsymbol{C}(\boldsymbol{r})=\nabla\times\boldsymbol{F} 唯一确定，当 r→∞r\to\infty 时 F→0\boldsymbol{F}\to 0，且 DD 和 C\boldsymbol{C} 趋于零的速度比 1/r21/r^2 更快。

势的形式

  • 无旋场：若 ∇×F=0\nabla\times\boldsymbol{F}=0，则 F=∇V\boldsymbol{F} = \nabla V。
  • 无散场：若 ∇⋅F=0\nabla\cdot\boldsymbol{F}=0，则 F=∇×A\boldsymbol{F} = \nabla\times\boldsymbol{A}。

张量初步

定义

二阶张量 T\boldsymbol{T} 可表示为

T=∑i,jTij eiej\begin{align} \boldsymbol{T} = \sum_{i,j} T_{ij}\, \boldsymbol{e}_i \boldsymbol{e}_j \end{align}

TijT_{ij} 是在 jj 方向单位面积上沿 ii 方向的力。

张量变换规则

坐标变换 A~i=∑jRijAj\tilde{A}_i = \sum_j R_{ij}A_j 下，二阶张量变换为

T~ij=∑k,lRikRjlTkl\begin{align} \tilde{T}_{ij} = \sum_{k,l} R_{ik} R_{jl} T_{kl} \end{align}

即矩阵形式 T~=RTRT\tilde{\mathsf{T}} = \mathsf{R}\mathsf{T}\mathsf{R}^{\mathsf{T}}。

张量运算

  • (T+P)ij=Tij+Pij(\boldsymbol{T}+\boldsymbol{P})_{ij} = T_{ij} + P_{ij}
  • (T⋅P)ij=∑kTikPkj(\boldsymbol{T}\cdot\boldsymbol{P})_{ij} = \sum_k T_{ik} P_{kj}
  • (v⋅T)i=∑jvjTji(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{T})_i = \sum_j v_j T_{ji}，(T⋅v)i=∑jvjTij(\boldsymbol{T}\cdot\boldsymbol{v})_i = \sum_j v_j T_{ij}
  • (∇⋅T)i=∑j∂Tji/∂xj(\nabla\cdot\boldsymbol{T})_i = \sum_j \partial T_{ji}/\partial x_j
物理电动力学矢量分析张量

·文章标题：矢量分析

·文章作者：NeoWangKing

·文章概要：本文系统整理电动力学所需的矢量分析基础知识，包括矢量代数、微分与积分运算、曲线坐标系下的表示、狄拉克δ函数、矢量场理论以及张量的初步介绍。

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